Вычислить $\displaystyle\int \frac{x+1}{x^2-3x+2}\,dx$.

Замечаем, что знаменатель раскладывается на множители: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

Разлагаем на простейшие дроби: $$ \frac{x+1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}. $$

Приводим к общему знаменателю: $x+1 = A(x-2)+B(x-1)$.

Подставляем: - $x=1$: $\ 2 = -A \Rightarrow A=-2$. - $x=2$: $\ 3 = B \Rightarrow B=3$.

Значит $$ \frac{x+1}{x^2-3x+2} = \frac{-2}{x-1}+\frac{3}{x-2}. $$

Интегрируем почленно: $$ \int \frac{x+1}{x^2-3x+2}\,dx = -2\ln|x-1| + 3\ln|x-2| + C. $$

$$ \boxed{\int \frac{x+1}{x^2-3x+2}\,dx = -2\ln|x-1| + 3\ln|x-2| + C} $$