Вычислить $\displaystyle\int \cos\sqrt x\,dx$.

Замена. Пусть $u=\sqrt x$, тогда $x=u^2$, $dx=2u\,du$: $$ \int \cos\sqrt x\,dx = \int \cos u \cdot 2u\,du = 2\int u\cos u\,du. $$

По частям. $p=u$, $dv=\cos u\,du$, тогда $dp=du$, $v=\sin u$: $$ \int u\cos u\,du = u\sin u - \int \sin u\,du = u\sin u + \cos u + C. $$

Значит: $$ 2\int u\cos u\,du = 2u\sin u + 2\cos u + C. $$

Возвращаемся к $x$ ($u=\sqrt x$): $$ \int \cos\sqrt x\,dx = 2\sqrt x\sin\sqrt x + 2\cos\sqrt x + C. $$

$$ \boxed{\int \cos\sqrt x\,dx = 2\sqrt x\sin\sqrt x + 2\cos\sqrt x + C} $$