Вычислить $\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$.

Это классический «циклический» интеграл: после двух интегрирований по частям исходный интеграл появляется снова в правой части, и относительно него получается линейное уравнение.

Шаг 1. Пусть $I=\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$. Берём $u=\sin x$, $dv=e^x\,dx$, тогда $du=\cos x\,dx$, $v=e^x$: $$ I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx. $$

Шаг 2. Для $J=\displaystyle\int e^x\cos x\,dx$: $u=\cos x$, $dv=e^x\,dx$, тогда $du=-\sin x\,dx$, $v=e^x$: $$ J = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I. $$

Шаг 3. Подставляем $J$ в выражение для $I$: $$ I = e^x\sin x - (e^x\cos x + I) = e^x\sin x - e^x\cos x - I. $$

Получили уравнение на $I$: $$ 2I = e^x(\sin x - \cos x) \quad\Rightarrow\quad I = \frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2} + C. $$

$$ \boxed{\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2} + C} $$