Вычислить $\displaystyle\int x^2\sin(2x)\,dx$.

Шаг 1. $u=x^2$, $dv=\sin2x\,dx$, тогда $du=2x\,dx$, $v=-\dfrac{\cos2x}{2}$: $$ I = -\frac{x^2\cos2x}{2} + \int x\cos2x\,dx. $$

Шаг 2. Для $\displaystyle\int x\cos2x\,dx$: $u=x$, $dv=\cos2x\,dx$, тогда $du=dx$, $v=\dfrac{\sin2x}{2}$: $$ \int x\cos2x\,dx = \frac{x\sin2x}{2} - \int \frac{\sin2x}{2}\,dx = \frac{x\sin2x}{2} + \frac{\cos2x}{4} + C. $$

Подставляем обратно: $$ I = -\frac{x^2\cos2x}{2} + \frac{x\sin2x}{2} + \frac{\cos2x}{4} + C. $$

$$ \boxed{\int x^2\sin(2x)\,dx = -\frac{x^2}{2}\cos2x + \frac{x}{2}\sin2x + \frac{1}{4}\cos2x + C} $$