Вычислить $\displaystyle\int \mathrm{arctg}\,x\,dx$.

Интегрируем по частям: $u=\mathrm{arctg}\,x$, $dv=dx$, тогда $du=\dfrac{dx}{1+x^2}$, $v=x$. $$ \int \mathrm{arctg}\,x\,dx = x\,\mathrm{arctg}\,x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx. $$

Для оставшегося интеграла делаем замену $w=1+x^2$, $dw=2x\,dx$: $$ \int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac12\int\frac{dw}{w} = \frac12\ln(1+x^2)+C. $$

Итого: $$ \int \mathrm{arctg}\,x\,dx = x\,\mathrm{arctg}\,x - \frac12\ln(1+x^2) + C. $$

$$ \boxed{\int \mathrm{arctg}\,x\,dx = x\,\mathrm{arctg}\,x - \frac12\ln(1+x^2) + C} $$