Задача повышенной сложности.

Вычислить $\displaystyle\int \ln\sqrt{1-x}\,dx$ (при $x<1$).

Сначала упрощаем подынтегральную функцию: $\ln\sqrt{1-x} = \dfrac12\ln(1-x)$. $$ I = \int \ln\sqrt{1-x}\,dx = \frac12\int \ln(1-x)\,dx. $$

По частям: $u=\dfrac12\ln(1-x)$, $dv=dx$, тогда $du=-\dfrac{dx}{2(1-x)}$, $v=x$: $$ I = \frac{x}{2}\ln(1-x) - \int x\cdot\left(-\frac{1}{2(1-x)}\right)dx = \frac{x}{2}\ln(1-x) + \frac12\int \frac{x}{1-x}\,dx. $$

Преобразуем подынтегральную дробь: $\dfrac{x}{1-x} = \dfrac{1}{1-x} - 1$ (проверка: $\dfrac{1}{1-x}-1=\dfrac{1-(1-x)}{1-x}=\dfrac{x}{1-x}$). Тогда $$ \int \frac{x}{1-x}\,dx = \int\left(\frac{1}{1-x}-1\right)dx = -\ln|1-x| - x + C. $$

Подставляем обратно: $$ I = \frac{x}{2}\ln(1-x) + \frac12\big(-\ln(1-x)-x\big) + C = \frac{x-1}{2}\ln(1-x) - \frac{x}{2} + C. $$

$$ \boxed{\int \ln\sqrt{1-x}\,dx = \frac{x-1}{2}\ln(1-x) - \frac{x}{2} + C} $$