Задача повышенной сложности.

Вычислить $\displaystyle\int e^{2x}\sin5x\,dx$.

Как и в задаче 4.5.8, это циклический интеграл.

Шаг 1. $I=\displaystyle\int e^{2x}\sin5x\,dx$. Берём $u=\sin5x$, $dv=e^{2x}dx$, тогда $du=5\cos5x\,dx$, $v=\dfrac{e^{2x}}{2}$: $$ I = \frac{e^{2x}\sin5x}{2} - \frac52\int e^{2x}\cos5x\,dx. $$

Шаг 2. Для $J=\displaystyle\int e^{2x}\cos5x\,dx$: $u=\cos5x$, $dv=e^{2x}dx$, тогда $du=-5\sin5x\,dx$, $v=\dfrac{e^{2x}}{2}$: $$ J = \frac{e^{2x}\cos5x}{2} + \frac52\int e^{2x}\sin5x\,dx = \frac{e^{2x}\cos5x}{2} + \frac52 I. $$

Шаг 3. Подставляем $J$ обратно: $$ I = \frac{e^{2x}\sin5x}{2} - \frac52\left(\frac{e^{2x}\cos5x}{2} + \frac52 I\right) = \frac{e^{2x}\sin5x}{2} - \frac{5e^{2x}\cos5x}{4} - \frac{25}{4}I. $$

Собираем $I$ в одну сторону: $$ I + \frac{25}{4}I = \frac{e^{2x}\sin5x}{2} - \frac{5e^{2x}\cos5x}{4} \quad\Rightarrow\quad \frac{29}{4}I = \frac{e^{2x}(2\sin5x-5\cos5x)}{4}. $$

$$ I = \frac{e^{2x}(2\sin5x-5\cos5x)}{29} + C. $$

Это согласуется с общей формулой $\displaystyle\int e^{ax}\sin(bx)\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2}+C$ при $a=2,\ b=5$.

$$ \boxed{\int e^{2x}\sin5x\,dx = \frac{e^{2x}(2\sin5x-5\cos5x)}{29} + C} $$