Вычислить $\displaystyle\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}}$ с помощью подстановки $x=\ln t$.

При $x=\ln t$ ($t>0$) имеем $dx=\dfrac{dt}{t}$, а также $e^x=t$, $e^{-x}=\dfrac1t$. Тогда $$ e^x+e^{-x}=t+\frac1t=\frac{t^2+1}{t}. $$

Подставляем в интеграл: $$ \int\frac{dx}{e^x+e^{-x}} = \int \frac{1}{\frac{t^2+1}{t}}\cdot\frac{dt}{t} = \int \frac{t}{t^2+1}\cdot\frac{dt}{t} = \int\frac{dt}{t^2+1} = \mathrm{arctg}\,t + C. $$

Возвращаемся к переменной $x$ (напомним, $t=e^x$): $$ \int\frac{dx}{e^x+e^{-x}} = \mathrm{arctg}(e^x) + C. $$

$$ \boxed{\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}} = \mathrm{arctg}(e^x)+C} $$