Вычислить $\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\,dx$ с помощью подстановки $x=\cos t$, $t\in[0,\pi]$.

Полагаем $x=\cos t$, тогда $dx=-\sin t\,dt$. Так как $t\in[0,\pi]$, то $\sin t\ge 0$, и $$ \sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{\sin^2 t}=\sin t. $$

Подставляем в интеграл: $$ \int\sqrt{1-x^2}\,dx = \int \sin t\cdot(-\sin t)\,dt = -\int \sin^2 t\,dt. $$

Понижаем степень по формуле $\sin^2 t = \dfrac{1-\cos2t}{2}$: $$ -\int \frac{1-\cos2t}{2}\,dt = -\frac{t}{2}+\frac{\sin2t}{4}+C = -\frac{t}{2}+\frac{\sin t\cos t}{2}+C. $$

Возвращаемся к переменной $x$: $t=\arccos x$, $\cos t = x$, $\sin t = \sqrt{1-x^2}$ (неотрицателен при $t\in[0,\pi]$): $$ \int\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} - \frac{\arccos x}{2} + C. $$

Используя тождество $\arccos x = \dfrac{\pi}{2}-\arcsin x$, эту же первообразную удобно записать через $\arcsin x$ (разница — постоянная, поглощается в $C$): $$ \int\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + \frac{\arcsin x}{2} + C. $$

$$ \boxed{\int\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + \frac{\arcsin x}{2} + C} $$