$$\int \cos^5x\,dx$$

Отделяем один косинус и выражаем остальное через синус: $\cos^5x=(1-\sin^2x)^2\cos x$. Пусть $u=\sin x$, $du=\cos x\,dx$: $$\int(1-\sin^2x)^2\cos x\,dx=\int(1-u^2)^2\,du=\int\left(1-2u^2+u^4\right)du=u-\frac23u^3+\frac15u^5+C.$$ Возвращаемся к $x$: $$\sin x-\frac23\sin^3x+\frac15\sin^5x+C.$$

$$\boxed{\sin x-\dfrac23\sin^3x+\dfrac15\sin^5x+C}$$