$$\int x^2\sqrt[3]{1+x^3}\,dx$$

Так как $d(1+x^3)=3x^2\,dx$, то $x^2\,dx=\dfrac13\,d(1+x^3)$: $$\int x^2\sqrt[3]{1+x^3}\,dx=\frac13\int(1+x^3)^{1/3}\,d(1+x^3)=\frac13\cdot\frac34(1+x^3)^{4/3}+C=\frac14(1+x^3)^{4/3}+C.$$

$$\boxed{\dfrac14\sqrt[3]{(1+x^3)^4}+C}$$