Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

$$\int \dfrac{\mathrm{arctg}\sqrt x}{\sqrt x}\cdot\dfrac{dx}{1+x}$$

Заметим, что $$d(\mathrm{arctg}\sqrt x)=\frac1{1+x}\cdot\frac1{2\sqrt x}\,dx=\frac{dx}{2\sqrt x(1+x)}.$$ Значит, $\dfrac{dx}{\sqrt x(1+x)}=2\,d(\mathrm{arctg}\sqrt x)$, и подынтегральное выражение записывается как $$\frac{\mathrm{arctg}\sqrt x}{\sqrt x}\cdot\frac{dx}{1+x}=2\,\mathrm{arctg}\sqrt x\cdot d(\mathrm{arctg}\sqrt x).$$ Интегрируем: $$\int2\,\mathrm{arctg}\sqrt x\,d(\mathrm{arctg}\sqrt x)=\left(\mathrm{arctg}\sqrt x\right)^2+C.$$

$$\boxed{\left(\mathrm{arctg}\sqrt x\right)^2+C}$$