$$\int \dfrac{dx}{\sqrt{-2x^2-12x+7}}$$

Выделяем полный квадрат: $$-2x^2-12x+7=-2(x^2+6x)+7=-2\left[(x+3)^2-9\right]+7=25-2(x+3)^2.$$ Приводим к виду $\int du/\sqrt{a^2-u^2}$: $$\int\frac{dx}{\sqrt{25-2(x+3)^2}}=\frac1{\sqrt2}\int\frac{dx}{\sqrt{\frac{25}2-(x+3)^2}}.$$ По табличной формуле $\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=\arcsin\frac ua+C$ ($u=x+3$, $a=\frac5{\sqrt2}$): $$\frac1{\sqrt2}\arcsin\frac{x+3}{5/\sqrt2}+C=\frac1{\sqrt2}\arcsin\frac{\sqrt2(x+3)}5+C.$$

$$\boxed{\dfrac1{\sqrt2}\arcsin\dfrac{\sqrt2\,(x+3)}5+C}$$