$$\int \dfrac{dx}{\sin^2x\cos x}$$

Умножим числитель и знаменатель на $\cos x$ и запишем через $u=\sin x$ ($du=\cos x\,dx$): $$\frac{dx}{\sin^2x\cos x}=\frac{\cos x\,dx}{\sin^2x\cos^2x}=\frac{\cos x\,dx}{\sin^2x(1-\sin^2x)}=\frac{du}{u^2(1-u^2)}.$$ Заметим тождество $\dfrac1{u^2(1-u^2)}=\dfrac1{u^2}+\dfrac1{1-u^2}$ (так как $(1-u^2)+u^2=1$). Тогда $$\int\left(\frac1{u^2}+\frac1{1-u^2}\right)du=-\frac1u+\frac12\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|+C.$$ Возвращаемся к $x$ ($u=\sin x$): $$-\frac1{\sin x}+\frac12\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C.$$

$$\boxed{-\dfrac1{\sin x}+\dfrac12\ln\left|\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C}$$