Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

$$\int \dfrac{dx}{\sin x}$$

Применим универсальную тригонометрическую подстановку $t=\mathrm{tg}\dfrac x2$, тогда $$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}.$$ Подставляем: $$\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{\frac{2\,dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\int\frac{dt}t=\ln|t|+C=\ln\left|\mathrm{tg}\frac x2\right|+C.$$

$$\boxed{\ln\left|\mathrm{tg}\dfrac x2\right|+C}$$