$$\int \cos^2x\,dx$$

Используем формулу понижения степени $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}2$: $$\int\cos^2x\,dx=\int\frac{1+\cos2x}2\,dx=\frac x2+\frac{\sin2x}4+C.$$

$$\boxed{\dfrac x2+\dfrac{\sin2x}4+C}$$