$$\int \sin(5x)\,dx$$

Пусть $u=5x$, тогда $du=5\,dx$, $dx=\dfrac{du}5$: $$\int\sin(5x)\,dx=\frac15\int\sin u\,du=-\frac15\cos u+C=-\frac15\cos(5x)+C.$$

$$\boxed{-\dfrac15\cos(5x)+C}$$