Используя таблицу приближений Маклорена, найти полином четвёртого порядка, приближающий функцию $f(x)=e^x(1+x^2)$ в окрестности точки $x_0=0$.

Разложим $e^x$ до четвёртого порядка: $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\ldots$$

Умножим на $(1+x^2)$, отбрасывая слагаемые выше четвёртого порядка: $$e^x(1+x^2)=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}\right)+x^2\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)+O(x^5)$$ $$=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+x^2+x^3+\frac{x^4}{2}+O(x^5)$$ $$=1+x+\left(\frac12+1\right)x^2+\left(\frac16+1\right)x^3+\left(\frac{1}{24}+\frac12\right)x^4+O(x^5)$$ $$=1+x+\frac32x^2+\frac76x^3+\frac{13}{24}x^4+O(x^5).$$

$$\boxed{P_4(x)=1+x+\frac32x^2+\frac76x^3+\frac{13}{24}x^4.}$$