Используя таблицу приближений Маклорена, найти полином четвёртого порядка, приближающий функцию $f(x)=\sin^2x$ в окрестности точки $x_0=0$.

Воспользуемся формулой понижения степени: $$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}.$$

Разложим $\cos2x$ по Маклорену до четвёртого порядка: $$\cos2x=1-\frac{(2x)^2}{2}+\frac{(2x)^4}{24}-\ldots=1-2x^2+\frac{2}{3}x^4-\ldots$$

Тогда $$\sin^2x=\frac{1-\left(1-2x^2+\frac23x^4\right)}{2}=\frac{2x^2-\frac23x^4}{2}=x^2-\frac13x^4.$$

Проверка прямым перемножением ряда: $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\ldots$, $\sin^2x=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^2+\ldots=x^2-\frac{x^4}{3}+\ldots$ — совпадает.

$$\boxed{P_4(x)=x^2-\frac13x^4.}$$