Найти полином Тейлора в окрестности точки $x_0=0$ до третьего порядка для функции $f(x)=\mathrm{tg}\,x$.

Используем табличные разложения: $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5),\qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4).$$

Для $\dfrac1{\cos x}$ до нужного порядка достаточно записать (по формуле $\frac{1}{1-t}=1+t+\ldots$ при $t=\frac{x^2}2+O(x^4)$): $$\frac{1}{\cos x}=1+\frac{x^2}{2}+O(x^4).$$

Перемножим ряды, оставляя члены до третьего порядка: $$\mathrm{tg}\,x=\sin x\cdot\frac{1}{\cos x}=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)\left(1+\frac{x^2}{2}\right)+O(x^5)=x+\frac{x^3}{2}-\frac{x^3}{6}+O(x^5)=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5).$$

$$\boxed{T_3(x)=x+\frac{x^3}{3}.}$$