Найти полином Тейлора в окрестности точки $x_0=0$ до третьего порядка для функции $f(x)=(1+x)^{-1/2}$.

Используем общий биномиальный ряд $$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\ldots$$ с $\alpha=-\dfrac12$.

Коэффициент при $x$: $\alpha=-\dfrac12$.

Коэффициент при $x^2$: $$\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}=\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{2}=\frac{3/4}{2}=\frac38.$$

Коэффициент при $x^3$: $$\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}=\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{6}=\frac{-15/8}{6}=-\frac{5}{16}.$$

$$\boxed{T_3(x)=1-\frac{x}{2}+\frac38x^2-\frac{5}{16}x^3.}$$