Найти наименьшее и наибольшее значение функции $f(x)=-\dfrac43x\sqrt x+9x+7$ на отрезке $[0,25]$.

Запишем функцию в виде $f(x)=-\dfrac43x^{3/2}+9x+7$, $x\ge0$. Функция непрерывна на $[0,25]$, значит наибольшее и наименьшее значения достигаются в стационарных точках или на концах отрезка.

Найдём производную: $$f'(x)=-\frac43\cdot\frac32x^{1/2}+9=-2\sqrt x+9.$$ Приравняем к нулю: $$-2\sqrt x+9=0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt x=\frac92 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{81}{4}=20{,}25.$$ Эта точка принадлежит $[0,25]$.

Проверим характер точки: $f''(x)=-\dfrac{1}{\sqrt x}<0$ при всех $x>0$, значит функция всюду вогнута (выпукла вверх), и $x=20{,}25$ — точка максимума. Следовательно, наименьшее значение на отрезке достигается на одном из концов.

Вычислим значения: $$f(0)=7,$$ $$f(20{,}25)=-\frac43\cdot\frac{81}{4}\cdot\frac92+9\cdot\frac{81}{4}+7=-\frac{729}{6}+\frac{729}{4}+7=-121{,}5+182{,}25+7=67{,}75=\frac{271}{4},$$ $$f(25)=-\frac43\cdot125+225+7=-\frac{500}{3}+232=\frac{196}{3}\approx65{,}33.$$

Сравнивая $f(0)=7$, $f(25)=\frac{196}{3}\approx65{,}33$ и максимум $f(20{,}25)=\frac{271}{4}=67{,}75$, получаем наименьшее значение $f(0)=7$ и наибольшее $f(20{,}25)=\frac{271}{4}$.

$$\boxed{f_{min}=f(0)=7,\qquad f_{max}=f\!\left(\frac{81}{4}\right)=\frac{271}{4}=67{,}75.}$$