Проанализировать функцию $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$. Построить примерный график.

1. Область определения. Логарифм определён при $x>0$: $D(f)=(0,+\infty)$.

2. Чётность/нечётность. Область определения несимметрична относительно нуля — вопрос о чётности не имеет смысла.

3. Асимптоты. При $x\to0^+$: $\ln x\to-\infty$, значит $f(x)\to-\infty$ — вертикальная асимптота $x=0$. При $x\to+\infty$: по стандартному пределу $\dfrac{\ln x}{x}\to0$ — горизонтальная асимптота $y=0$ (график приближается к оси $Ox$ сверху, так как при больших $x$ числитель положителен).

4. Нули и знаки. $f(x)=0 \Leftrightarrow \ln x=0 \Leftrightarrow x=1$. При $0<x<1$: $f(x)<0$; при $x>1$: $f(x)>0$.

5. Монотонность и экстремумы. $$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$ $f'(x)=0$ при $\ln x=1$, т.е. $x=e$. $$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<e,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>e.$$ Функция возрастает на $(0,e]$, убывает на $[e,+\infty)$. Локальный максимум в $x=e$: $f(e)=\dfrac1e\approx0{,}368$.

6. Выпуклость/вогнутость. $$f''(x)=\frac{2\ln x-3}{x^3}.$$ $f''(x)=0$ при $\ln x=\dfrac32$, т.е. $x=e^{3/2}\approx4{,}48$. При $x<e^{3/2}$: $f''(x)<0$ (выпукла вверх). При $x>e^{3/2}$: $f''(x)>0$ (выпукла вниз). Точка перегиба: $x=e^{3/2}$, $f(e^{3/2})=\dfrac{3}{2e^{3/2}}\approx0{,}335$.

7. Примерный график. Кривая приходит из $-\infty$ вблизи оси $Oy$ (асимптота $x=0$), возрастая пересекает ось $Ox$ в точке $(1,0)$, продолжает расти до максимума $\left(e,\frac1e\right)$, затем убывает; после точки перегиба $\left(e^{3/2},\frac{3}{2e^{3/2}}\right)$ выпуклость меняется на «вниз», и график плавно приближается к оси $Ox$ ($y=0$) сверху при $x\to+\infty$.

$D(f)=(0,+\infty)$; асимптоты $x=0$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная при $x\to+\infty$); возрастает на $(0,e]$, убывает на $[e,+\infty)$; максимум $f(e)=1/e$; точка перегиба при $x=e^{3/2}$, $f=\dfrac{3}{2e^{3/2}}$.