Проанализировать функцию $f(x)=\dfrac{1+2x}{x-1}$. Построить примерный график.

1. Область определения. Знаменатель обращается в нуль при $x=1$, поэтому $D(f)=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$.

2. Чётность/нечётность. $f(-x)=\dfrac{1-2x}{-x-1}=\dfrac{2x-1}{x+1}$. Это не равно ни $f(x)$, ни $-f(x)$ — функция общего вида.

3. Упрощение. Выделим целую часть: $1+2x=2(x-1)+3$, поэтому $$f(x)=2+\frac{3}{x-1}.$$

4. Асимптоты. Вертикальная асимптота $x=1$: при $x\to1^-$ имеем $f(x)\to-\infty$, при $x\to1^+$ имеем $f(x)\to+\infty$. Горизонтальная асимптота $y=2$: при $x\to\pm\infty$ дробь $\dfrac{3}{x-1}\to0$, значит $f(x)\to2$.

5. Пересечения с осями. При $x=0$: $f(0)=-1$. При $f(x)=0$: $1+2x=0\Rightarrow x=-\dfrac12$.

6. Монотонность и экстремумы. $$f'(x)=-\frac{3}{(x-1)^2}.$$ При всех $x\ne1$ имеем $f'(x)<0$ — функция строго убывает на каждом из промежутков $(-\infty,1)$ и $(1,+\infty)$. Стационарных точек нет, экстремумов нет.

7. Выпуклость/вогнутость. $$f''(x)=\frac{6}{(x-1)^3}.$$ При $x<1$: $f''(x)<0$ — график выпуклый вверх. При $x>1$: $f''(x)>0$ — график выпуклый вниз (вогнутый). Точка $x=1$ не входит в область определения, перегибов нет.

8. Примерный график. Равносторонняя гипербола со сдвинутым центром симметрии в точке $(1,2)$. Левая ветвь ($x<1$) убывает от значения, близкого к $y=2$ снизу (при $x\to-\infty$), до $-\infty$ (при $x\to1^-$), выпукла вверх. Правая ветвь ($x>1$) убывает от $+\infty$ (при $x\to1^+$) до значения, близкого к $y=2$ сверху (при $x\to+\infty$), выпукла вниз.

$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}$; асимптоты $x=1$ и $y=2$; функция убывает на всей области определения, экстремумов нет; выпукла вверх при $x<1$, выпукла вниз при $x>1$, точек перегиба нет.