Проанализировать функцию $f(x)=\sin x$. Построить примерный график.

1. Область определения. $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Чётность/нечётность. $f(-x)=\sin(-x)=-\sin x=-f(x)$ — функция нечётная, график симметричен относительно начала координат.

3. Периодичность. Функция периодична с периодом $2\pi$: $\sin(x+2\pi)=\sin x$. Достаточно исследовать функцию на отрезке длиной $2\pi$, например $[-\pi,\pi]$.

4. Асимптоты. Функция ограничена ($-1\le\sin x\le1$), вертикальных асимптот нет (функция непрерывна всюду). Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как при $x\to\pm\infty$ предела не существует (функция колеблется).

5. Монотонность и экстремумы. $f'(x)=\cos x$. На периоде $[-\pi,\pi]$: $f'(x)=0$ при $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$. $$f'(x)>0 \text{ на } \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)+2\pi k \quad\Rightarrow\quad f \text{ возрастает};$$ $$f'(x)<0 \text{ на } \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)+2\pi k \quad\Rightarrow\quad f \text{ убывает}.$$ Локальные максимумы: $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$, $f=1$. Локальные минимумы: $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$, $f=-1$.

6. Выпуклость/вогнутость и перегибы. $f''(x)=-\sin x$. $f''(x)=0$ при $x=\pi k$. $$f''(x)<0 \text{ на } (0,\pi)+2\pi k \quad\Rightarrow\quad \text{график выпуклый вверх};$$ $$f''(x)>0 \text{ на } (\pi,2\pi)+2\pi k \quad\Rightarrow\quad \text{график выпуклый вниз (вогнутый)}.$$ Точки перегиба: $x=\pi k$, $f=0$.

7. Примерный график. Стандартная синусоида: волна, колеблющаяся между $-1$ и $1$ с периодом $2\pi$, проходящая через начало координат, нарастающая на $(-\pi/2,\pi/2)$ до максимума в $\pi/2$, убывающая до минимума в $-\pi/2$ (и далее периодически повторяется), симметричная относительно точки $(0,0)$.

Функция нечётная, периодическая с периодом $2\pi$, без асимптот; возрастает на $(-\pi/2+2\pi k,\ \pi/2+2\pi k)$, убывает на $(\pi/2+2\pi k,\ 3\pi/2+2\pi k)$; максимумы $f=1$ при $x=\pi/2+2\pi k$, минимумы $f=-1$ при $x=-\pi/2+2\pi k$; точки перегиба $x=\pi k$.