Найти частные производные первого порядка функции $$ f(x,y) = x\sin(x+y). $$

По $x$ (при постоянном $y$) применяем правило произведения к $x$ и $\sin(x+y)$: $$ f_x = 1\cdot\sin(x+y) + x\cdot\cos(x+y)\cdot 1 = \sin(x+y)+x\cos(x+y). $$

По $y$ (при постоянном $x$) множитель $x$ — константа, дифференцируем только $\sin(x+y)$: $$ f_y = x\cdot\cos(x+y)\cdot 1 = x\cos(x+y). $$

$$ \boxed{f_x = \sin(x+y)+x\cos(x+y), \qquad f_y = x\cos(x+y)} $$