Дана функция $f(x)=x^4-4x+1$. Написать уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$, параллельной оси $Ox$.

Геометрический смысл производной: $f'(x_0)$ равен угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику в точке с абсциссой $x_0$. Касательная параллельна оси $Ox$ тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент равен нулю, то есть $f'(x_0)=0$.

Находим производную: $$ f'(x) = 4x^3-4. $$

Решаем уравнение $f'(x_0)=0$: $$ 4x_0^3-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x_0^3=1 \quad\Longrightarrow\quad x_0=1 $$ (это единственный действительный корень; два других корня — комплексные).

Находим ординату точки касания: $$ f(1) = 1^4-4\cdot1+1 = 1-4+1=-2. $$

Уравнение касательной в общем виде: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$. Так как $f'(x_0)=0$, касательная — горизонтальная прямая: $$ y = -2. $$

$$ \boxed{y=-2\ \text{(точка касания }(1,-2)\text{)}} $$