Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

Найти производную функции и упростить результат: $$ f(x) = 1 - x - \mathrm{ctg}(x)\ln(1+\sin x) + \ln\,\mathrm{tg}\!\left(\frac x2\right). $$

Дифференцируем слагаемые по отдельности.

$(1-x)' = -1$.

Второе слагаемое — произведение $\mathrm{ctg}\,x\cdot\ln(1+\sin x)$: $$ (\mathrm{ctg}\,x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}, \qquad \bigl(\ln(1+\sin x)\bigr)' = \frac{\cos x}{1+\sin x}. $$ $$ \bigl(\mathrm{ctg}(x)\ln(1+\sin x)\bigr)' = -\frac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x} + \mathrm{ctg}\,x\cdot\frac{\cos x}{1+\sin x}. $$

Третье слагаемое — стандартный результат: $$ \left(\ln\,\mathrm{tg}\frac x2\right)' = \frac{1}{\sin x}. $$

Собираем всё вместе (учитывая знак «минус» перед вторым слагаемым): $$ f'(x) = -1 + \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x} - \mathrm{ctg}(x)\cdot\frac{\cos x}{1+\sin x} + \frac{1}{\sin x}. $$

Заметим, что $\mathrm{ctg}\,x\cdot\cos x = \dfrac{\cos^2 x}{\sin x}$, поэтому третье и четвёртое слагаемые объединяются: $$ \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x(1+\sin x)} = \frac{(1+\sin x)-\cos^2 x}{\sin x(1+\sin x)} = \frac{\sin x+\sin^2 x}{\sin x(1+\sin x)} = \frac{\sin x(1+\sin x)}{\sin x(1+\sin x)} = 1. $$

Значит, $$ f'(x) = -1 + \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x} + 1 = \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x}. $$

$$ \boxed{f'(x) = \dfrac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x}} $$