Найти производную функции $$ f(x) = \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) $$ (эта функция понадобится позже как первообразная для одной из табличных функций из темы интегралов).

$u = x+\sqrt{1+x^2}$, $u' = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}$.

$$ f'(x) = \frac{u'}{u} = \frac{\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}. $$

Таким образом, $f(x)$ — первообразная для $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

$$ \boxed{f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}} $$