Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

Найти производную по $t$ от функции $$ f(t) = \mathrm{arcsin}\!\left(\frac{at}{L}\right), $$ где $a, L$ — постоянные ($L>0$).

$u = \dfrac{at}{L}$, $u' = \dfrac{a}{L}$.

$$ f'(t) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{a/L}{\sqrt{1-\dfrac{a^2t^2}{L^2}}}. $$

Упрощаем корень: $\sqrt{1-\dfrac{a^2t^2}{L^2}} = \dfrac{\sqrt{L^2-a^2t^2}}{L}$ (при $L>0$), поэтому

$$ f'(t) = \frac{a/L}{\sqrt{L^2-a^2t^2}/L} = \frac{a}{\sqrt{L^2-a^2t^2}}. $$

$$ \boxed{f'(t) = \dfrac{a}{\sqrt{L^2-a^2t^2}}} $$