Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

Найти производную функции $$ f(x) = (1+x)\sqrt{2+x^2}\,\sqrt[3]{1+x^3}. $$

Удобно применить логарифмическое дифференцирование. Пусть $f(x)>0$. Логарифмируем: $$ \ln f = \ln(1+x) + \frac12\ln(2+x^2) + \frac13\ln(1+x^3). $$

Дифференцируем обе части по $x$: $$ \frac{f'}{f} = \frac{1}{1+x} + \frac12\cdot\frac{2x}{2+x^2} + \frac13\cdot\frac{3x^2}{1+x^3} = \frac{1}{1+x} + \frac{x}{2+x^2} + \frac{x^2}{1+x^3}. $$

Отсюда: $$ f'(x) = f(x)\left[\frac{1}{1+x} + \frac{x}{2+x^2} + \frac{x^2}{1+x^3}\right]. $$

$$ \boxed{f'(x) = (1+x)\sqrt{2+x^2}\,\sqrt[3]{1+x^3}\left[\frac{1}{1+x} + \frac{x}{2+x^2} + \frac{x^2}{1+x^3}\right]} $$