Найти производную функции $$ f(x) = \frac{2x+x^3}{x^2+1}. $$

$u = 2x+x^3$, $u'=2+3x^2$; $v=x^2+1$, $v'=2x$.

$$ f'(x) = \frac{(2+3x^2)(x^2+1) - (2x+x^3)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}. $$

Раскрываем числитель: $$ (2+3x^2)(x^2+1) = 3x^4+5x^2+2, \qquad (2x+x^3)\cdot 2x = 2x^4+4x^2. $$

$$ 3x^4+5x^2+2 - 2x^4-4x^2 = x^4+x^2+2. $$

$$ \boxed{f'(x) = \dfrac{x^4+x^2+2}{(x^2+1)^2}} $$