Найти производную функции $$ f(x) = x\ln(x) + 7\,\mathrm{arctg}(x). $$

По правилу произведения: $$ (x\ln x)' = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac1x = \ln x + 1. $$

По правилу дифференцирования сложной функции и табличной производной арктангенса: $$ (7\,\mathrm{arctg}\,x)' = 7\cdot\frac{1}{1+x^2} = \frac{7}{1+x^2}. $$

Складываем: $$ f'(x) = \ln x + 1 + \frac{7}{1+x^2}. $$

$$ \boxed{f'(x) = \ln x + 1 + \dfrac{7}{1+x^2}} $$