===== Определитель Вандермонда =====

==== Утверждение ====
$$V(x_1,\dots,x_n)=\begin{vmatrix}1&1&\dots&1\\x_1&x_2&\dots&x_n\\x_1^2&x_2^2&\dots&x_n^2\\\vdots&&&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\dots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).$$

В частности, определитель Вандермонда отличен от нуля тогда и только тогда, когда все $x_i$ попарно различны.

==== Доказательство (индукция по n) ====
При $n=2$: $\begin{vmatrix}1&1\\x_1&x_2\end{vmatrix}=x_2-x_1$.

Шаг индукции. Идём снизу вверх: из каждой строки, начиная с последней, вычитаем предыдущую, умноженную на $x_1$. Определитель не меняется, а в первом столбце под единицей появляются нули:
$$V=\begin{vmatrix}1&1&\dots&1\\0&x_2-x_1&\dots&x_n-x_1\\0&x_2(x_2-x_1)&\dots&x_n(x_n-x_1)\\\vdots&&&\vdots\\0&x_2^{n-2}(x_2-x_1)&\dots&x_n^{n-2}(x_n-x_1)\end{vmatrix}.$$
Разложим по первому столбцу и вынесем из $j$-го столбца оставшегося определителя множитель $x_j-x_1$:
$$V(x_1,\dots,x_n)=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\cdot V(x_2,\dots,x_n).$$
По предположению индукции $V(x_2,\dots,x_n)=\prod_{2\le i<j\le n}(x_j-x_i)$, что и даёт формулу.

==== Пример: n = 3 ====
$$\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b).$$

==== Где встречается ====
  * Задача [[278|278]]: $x_i=1,2,3,4$, определитель равен $12$.
  * Интерполяция: многочлен степени $<n$, принимающий заданные значения в $n$ различных точках, существует и единствен — определитель системы на его коэффициенты есть определитель Вандермонда.