==== Задача 1. ==== 
Найти значения параметра $s$, при котором оператор с матрицей 

$$A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & s\\
0 & 1 & 2-s\\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)$$

диагонализируем.

-----

Для треугольной матрицы сразу можем сказать её собственные числа ---
$2,2,1:$

$$\chi(x)=-x^{3}+5x^{2}-8x+4=\left(2-x\right)^{2}\left(1-x\right).$$

Найдём собственные вектора для вырожденного корня

$$A-2E=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & s\\
0 & -1 & 2-s\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & s\\
0 & -1 & 2-s\\
0 & 0 & 0\\ \hline
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & s-1\\
0 & -1 & 1-s\\
0 & 0 & 0\\ \hline
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).$$

Для диагонализации надо что бы собственное пространство было размерности
2, следовательно, $s-1=0$ и $s=1.$

==== Задача 2. ==== 
Запишите матрицу в стандартном базисе и найдите ядро и образ оператора
$P$ на $\mathbb{R}^{3}$ , заданного правилом 

$P:x\mapsto(u,x)u-(v,x)v,$ где $u=(1,1,-1)^{T}$ , $v=(2,-1,1)^{T}.$
Доказать, что $\ker P\bot\text{Im}P.$

-----
Построим
$$P:x\mapsto(x_{1}+x_{2}-x_{3})\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
-1
\end{array}\right)-(2x_{1}-x_{2}+x_{3})\left(\begin{array}{c}
2\\
-1\\
1
\end{array}\right)=$$

$$\left(\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2}-x_{3}-2(2x_{1}-x_{2}+x_{3})\\
x_{1}+x_{2}-x_{3}+(2x_{1}-x_{2}+x_{3})\\
-x_{1}-x_{2}+x_{3}-(2x_{1}-x_{2}+x_{3})
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-3x_{1}+3x_{2}-3x_{3}\\
3x_{1}\\
-3x_{1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
-3 & 3 & -3\\
3 & 0 & 0\\
-3 & 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{array}\right)$$

Найдём ядро и образ:
$$\left(\begin{array}{ccc}
-3 & 3 & -3\\
3 & 0 & 0\\
-3 & 0 & 0
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
-3 & 3 & -3\\
3 & 0 & 0\\
-3 & 0 & 0\\  \hline
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
-3 & 3 & 0\\
3 & 0 & 0\\
-3 & 0 & 0\\ \hline
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).$$

Следовательно, 
$$\ker P=\left\langle \left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
1
\end{array}\right)\right\rangle , \ \ \ \text{Im}P=\left\langle \left(\begin{array}{c}
-1\\
1\\
-1
\end{array}\right),{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right)}\right\rangle .$$

Вектор ядра ортогонален каждому вектору образа 
$$\left(\left(\begin{array}{c}
-1\\
1\\
-1
\end{array}\right), \ \ \left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
1
\end{array}\right)\right)=0,\left(\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right), \ \ \left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
1
\end{array}\right)\right)=0,$$ значит пространства ортогональны.

==== Задача 3. ==== 
Пусть $S$ --- пространство симметрических матриц 
$$X=\left(\begin{array}{cc}
x & y\\
y & z
\end{array}\right)$$
над $\mathbb{R}$, $L_{A}:S\to S$ --- это оператор, заданный по
правилу $L_{A}(X)=AX+XA^{T},$ 
где 
$$A=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right).$$ 
Найти жорданову форму оператора $L_{A}.$
-----

$$L_{A}(X)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
x & y\\
y & z
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
x & y\\
y & z
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
y & z\\
0 & 0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
y & 0\\
z & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
2y & z\\
z & 0
\end{array}\right).$$

Выберем базис в пространстве симметрических матриц так, что 

$$X=\left(\begin{array}{cc}
x & y\\
y & z
\end{array}\right)=e_{1}x+e_{2}y+e_{3}z,$$ тогда

$$L_{A}\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
2y\\
z\\
0
\end{array}\right) \ \ \Rightarrow \ \ L_{A}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right).$$

Так как собственные числа все равны нулю и $L_{A}^{2}\neq0,$ следовательно,
$$J_{L_{A}}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right).$$

==== Задача 4. ==== 
Вычислить $A^{100},$ для матрицы 

$$A=\left(\begin{array}{cc}
3 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right)$$

-----

Найдём собственные числа:

$$\chi(x)=-x^{2}+4-4=(2-x)^{2}.$$

Собственные числа $x_{1,2}=2$ вырожденные, кратности 2.

Самое простое --- это представить в виде полинома, без поиска матрицы
преобразования к жордановой форме:

$$f\left(A\right)=f\left(\lambda_{1}\right)E+f^{'}\left(\lambda_{1}\right)\left(A-\lambda_{1}E\right)=2^{100}E+100\cdot2^{99}\left(A-2E\right)=$$

$$2^{100}\left(E+50\left(A-2E\right)\right)=2^{100}\left(50A-99E\right)=2^{100}\left(\begin{array}{cc}
51 & -50\\
50 & -49
\end{array}\right).$$

==== Задача 5. ==== 

Оператор $\Phi:\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}\to\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}$
на пространстве многочленов степени $\leqslant2$ задан по правилу

$$\Phi\left(f\left(x\right)\right)=f\left(2\right)x^{2}+\left(f\left(0\right)-2f\left(2\right)\right)x+f\left(2\right)-f\left(0\right).$$

Доказать, что подпространство $L=\left\langle x-1,(x-1)^{2}\right\rangle $
инвариантно относительно $\Phi$.

-----

Посмотрим как действует оператор $\Phi$ на многочлены $x-1$ и $(x-1)^{2}$:

$$\Phi\left(x-1\right)=1x^{2}+\left(-1-2\right)x+1-\left(-1\right)=x^{2}-3x+2=\left(x-1\right)^{2}-\left(x-1\right);$$

$$\Phi\left(\left(x-1\right)^{2}\right)=\left(1-2\cdot2+1\cdot4\right)x^{2}-\left(1-2\cdot4+1\cdot8\right)x-2\cdot2+1\cdot4=x^{2}-x=\left(x-1\right)^{2}+\left(x-1\right),$$

следовательно, произвольный вектор $$\alpha\left(x-1\right)^{2}+\beta\left(x-1\right)\in L$$
под действием оператора 

$$\Phi\left(\alpha\left(x-1\right)^{2}+\beta\left(x-1\right)\right)=\alpha\Phi\left(\left(x-1\right)^{2}\right)+\beta\Phi\left(x-1\right)=$$

$$\alpha\left(\left(x-1\right)^{2}+\left(x-1\right)\right)+\beta\left(\left(x-1\right)^{2}-\left(x-1\right)\right)=\left(\alpha+\beta\right)\left(x-1\right)^{2}+\left(\alpha-\beta\right)\left(x-1\right)\in L$$

в вектор того же пространства.

-----

Заметим, что произвольный многочлен $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$
под действием оператора 

перейдёт в 

$$\Phi\left(f\left(x\right)\right)=\left(a_{0}+a_{1}2+a_{2}4\right)x^{2}-\left(a_{0}+a_{1}4+a_{2}8\right)x+a_{1}2+a_{2}4,$$

при этом, если корень многочлена единичный $f(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}=0,$
то он под действием оператора так же будет иметь единичный корень: 

$$\Phi\left(f\left(1\right)\right)=\left(a_{0}+a_{1}2+a_{2}4\right)1^{2}-\left(a_{0}+a_{1}4+a_{2}8\right)1+a_{1}2+a_{2}4=0,$$

значит все многочлены $f\left(1\right)=0$ как раз и образуют инвариантное
подпространство нашего оператора.