==== Задача 1. ==== 
Из набора векторов в стандартном евклидовом $\mathbb{R}^{3}$ $e_{1}=\left(1,0,1\right)^{T};e_{2}=\left(2,-1,0\right)^{T};e_{3}=\left(1,2,-1\right)^{T}$
постройте методом Грама-Шмидта ортогональный набор и запишите матрицу
перехода от исходного набора к полученному. 
-----

В качестве первого вектора нового базиса возьмём $f_{1}=e_{1}.$ Второй
ему не ортогонален, ортогонализуем 

$$f_{2}=e_{2}-\alpha_{1}f_{1},$$ где $$\alpha_{1}=\frac{\left(e_{2},f_{1}\right)}{\left(f_{1},f_{1}\right)}=\frac{1\cdot2+0\cdot(-1)+1\cdot0}{1\cdot1+0\cdot0+1\cdot1}=\frac{2}{2}=1,$$
тогда

$$f_{2}=\left(2,-1,0\right)^{T}-\left(1,0,1\right)^{T}=\left(1,-1,-1\right)^{T}.$$
Третий вектор $f_{3}=e_{3}$ т.к. $\left(e_{3},f_{1}\right)=\left(e_{3},f_{2}\right)=0.$

Таким образом новый базис $f_{1}=e_{1};f_{2}=e_{2}-e_{1};f_{3}=e_{2}$
и матрица перехода 

$$(f_{1},f_{2},f_{3})=(e_{1},e_{2},e_{3})\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)$$

$$S=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).$$

==== Задача 2. ==== 
Найти ядро и образ оператора на $\mathbb{R}^{3}$ с матрицей $A=3E-x\cdot x^{T}$, где $x=(1,1,1)^{T}$, $E$ --- единичная матрица. 
-----

$$A=3\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & -1\\
-1 & 2 & -1\\
-1 & -1 & 2
\end{array}\right)$$

найдём ядро и образ

$$\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & -1\\
-1 & 2 & -1\\
-1 & -1 & 2\\ \hline
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & -1\\
0 & 2 & -1\\
0 & -1 & 2\\ \hline
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & -1\\
0 & 3 & -1\\
0 & -3 & 2\\ \hline
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
1 & -1 & 1
\end{array}\right)$$

В итоге $\ker A=\left\langle (1,1,1)^{T}\right\rangle $, $\text{Im}A=\left\langle (0,3,-3)^{T},(-1,-1,2)^{T}\right\rangle $.

==== Задача 3. ==== 
Оператор $D:\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}\to\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}$
задан по правилу $D\left(f(x)\right)=f(x+1)-f(x).$ 

а) Запишите матрицу $D$ в базисе $1,x,x^{2}$ ; 

б) докажите, что $D$ --- нильпотентен; 

в) найдите жорданову форму оператора $D$. 
-----

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},$ тогда 

$$D\left(f(x)\right)=a_{0}+a_{1}\left(x+1\right)+a_{2}\left(x+1\right)^{2}-\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\right)=$$

$$a_{0}+a_{1}x+a_{1}+a_{2}x^{2}+2a_{2}x+a_{2}-\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\right)=a_{1}+a_{2}+2a_{2}x.$$

Матрицу запишем при действии на вектор $\left(a_{0},a_{1},a_{2}\right)^{T}:$

$$\left(\begin{array}{c}
a_{1}+a_{2}\\
2a_{2}\\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
a_{0}\\
a_{1}\\
a_{2}
\end{array}\right),$$ 

тогда 
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right);$$


$$A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right);A^{3}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right),$$

следовательно, матрица $A$ нильпотентна. Раз собственные числа только
нулевые и $A^{2}\neq0,$то жорданова форма

$$J_{A}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right),$$ для которой $J_{A}\neq0.$

==== Задача 4. ==== 
Вычислить $\det(e^{A})$ для матрицы 

$$A=\left(\begin{array}{cc}
3 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right).$$
-----

Находим собственные числа $$\chi\left(\lambda\right)=\left(-\lambda\right)^{2}-4\lambda+4=\left(\lambda-2\right)^{2}.$$

Вспоминаем [[math:t2-04#Построение функции от матрицы без нахождения матрицы преобразования|формулу]] вычисления матричной функции при вырожденном корне:

$$f\left(A\right)=f\left(\lambda_{1}\right)E+f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)\left(A-\lambda_{1}E\right)=$$

$$e^{2}E+e^{2}\left(A-2E\right)=e^{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)+e^{2}\left(\left(\begin{array}{cc}
3 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)\right)=e^{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)+e^{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & -1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
2e^{2} & -e^{2}\\
e^{2} & 0
\end{array}\right)$$

тогда

$$\det\left(\begin{array}{cc}
2e^{2} & -e^{2}\\
e^{2} & 0
\end{array}\right)=e^{2}e^{2}=e^{4}.$$

С другой стороны мы просто убедились, что $\det e^{A}=e^{\text{Tr}A}.$

==== Задача 5. ====  
Пусть $L_{A}:M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R})$ --- это
отображение, задаваемое по правилу $L_{A}(X)=AX,$ 

где 

$$A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & -2
\end{array}\right).$$

Пусть $U$ --- линейная оболочка матриц $E,A$: $U=\left\langle E,A\right\rangle \subset M_{2}(\mathbb{R}).$
Проверьте, что $L_{A}$ --- линейный оператор, что $U$ инвариантно
относительно $L_{A}$, и запишите матрицу ограничения (сужения) $L_{A}|_{U}$
в базисе $\left\{ E,A\right\} $ подпространства $U$.

-----

То, что $U$ --- линейная оболочка матриц $U=\left\langle E,A\right\rangle $,
следовательно, произвольный <<вектор>>
$X\in U$ можно представить в виде $$X=\alpha E+\beta A, \text{ где } \alpha,\beta\in\mathbb{R},$$
при этом <<вектора>> $E,A$ являются базисными.
Подействуем оператором $L_{A}$ на произвольный <<вектор>>
$$L_{A}(X)=L_{A}\left(\alpha E+\beta A\right)=A\left(\alpha E+\beta A\right)=\alpha A+\beta A^{2}$$

Найдём сначала $$A^{2}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & -2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & -2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
0 & 4
\end{array}\right)=xE+yA=\left(\begin{array}{cc}
x+y & y\\
0 & x-2y
\end{array}\right),$$

решая систему получим, что $y=-1,x=2$ и $A^{2}=2E-A,$ тогда

$$L_{A}(X)=L_{A}\left(\alpha E+\beta A\right)=\alpha A+\beta A^{2}=\alpha A+\beta\left(2E-A\right)=2\beta E+\left(\alpha-\beta\right)A.$$

Таким образом, вектор $X$ в базисе $\left\{ E,A\right\} $ можно
представить в виде $\left(\alpha,\beta\right)^{T}$ и под действием
оператора $L_{A}$ переходит в вектор $\left(2\beta,\alpha-\beta\right)$, следовательно, матрица сужения $L_{A}|_{U}$ :

$$\left(\begin{array}{c}
2\beta\\
\alpha-\beta
\end{array}\right)=L_{A}|_{U}\left(\begin{array}{c}
\alpha\\
\beta
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 2\\
1 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\alpha\\
\beta
\end{array}\right),$$ так что

$$L_{A}|_{U}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 2\\
1 & -1
\end{array}\right).$$