Сингулярное и полярное разложения являются двумя различными способами
представления матриц в виде произведения более простых матриц.

//Определение.// Неотрицательный квадратный корень из собственного
числа оператора $A^{*}A$ называют **сингулярным числом** оператора
$A$.

==== Сингулярное разложение ====

//Определение.// Сингулярное разложение (SVD) для матрицы $A$
размера $m\times n$ это представление матрицы $A$ в виде произведения
трех матриц: $A=U\cdot\Sigma\cdot V^{\dagger},$ где $U$ --- ортогональная
матрица размера $m\times m$, $\Sigma$ --- диагональная матрица
размера $m\times n$ с неотрицательными элементами на диагонали (сингулярными
числами матрицы $A$), $V^{\dagger}$ --- транспонированная ортогональная
матрица размера $n\times n$.

Для произвольной матрицы $A$ размера $m\times n$ сингулярное разложение
строится следующим образом:
  * Элемент нумерованного списка
  * Вычислить матрицу $A^{\dagger}\cdot A$ размера $n\times n$. 
  * Найти собственные значения и собственные векторы матрицы $A^{\dagger}\cdot A.$ Пусть собственные значения будут $\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{k},$ где $k=\text{min}(m,n),$ а соответствующие им собственные векторы будут $v_{1},v_{2},...,v_{k}.$ 
  * Нормализовать каждый из векторов $v_{i}$ так, чтобы его длина была равна 1: $v_{i}'=\frac{v_{i}}{|v_{i}|},$ где $|v_{i}|$ --- длина вектора $v_{i}.$ 
  * Сформировать матрицу $V$ размера $n\times k,$ состоящую из найденных собственных векторов $v'_{1},v'_{2},...,v'_{k}$. Если $k<n,$ то дополнить базис ортонормированными векторами $v'_{k+1},v'_{k+2},...,v'_{n}$. Построить из векторов $v'_{1},v'_{2},...,v'_{n}$ матрицу $V.$ Транспонированием и сопряжением матрицы $V$ построить $V^{\dagger}$. 
  * Найти сингулярные числа матрицы $A$ как корни из найденных собственных значений матрицы $A^{\dagger}\cdot A$: $\sigma_{i}=\sqrt{\lambda_{i}},$ где $i=1,\ldots,k.$ Сформировать диагональную матрицу $\Sigma$ размера $m\times n$ состоящую из найденных сингулярных значений $\sigma_{1}\geqslant\sigma_{2}\geqslant...\geqslant\sigma_{k}.$ Причём, если $m<n,$ то 
$$\Sigma=\left(\begin{array}{cccccc}
\sigma_{1} & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0\\
0 & \sigma_{2} & \cdots & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \sigma_{m} & \cdots & 0
\end{array}\right),$$
если $m>n,$то
$$\Sigma=\left(\begin{array}{cccc}
\sigma_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & \sigma_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \sigma_{n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right).$$
  * Построить вектора $u_{i}=\frac{1}{\sigma_{i}}Av'_{i}$. Если $m>n,$ то дополнить базис ортонормированными векторами $u_{n+1},...,u_{m}$. Построить из векторов $u_{1},...,u_{m}$ матрицу $U.$ 
  * Таким образом, сингулярное разложение матрицы $A$ может быть представлено в виде $A=U\cdot\Sigma\cdot V^{\dagger}.$ Матрица $U$ будет ортогональной и размера $m\times n,$ матрица $\Sigma$ будет диагональной и размера $m\times n$, а матрица $V^{\dagger}$ будет ортогональной и размера $n\times n$.

==== Полярное разложение ====

//Определение.// Правое полярное разложение для матрицы $A$ размера
$m\times n$ это представление матрицы $A$ в виде произведения двух
матриц: $A=UP,$ где $U$ --- ортогональная матрица размера $m\times m$,
$P$ --- неотрицательно определенная матрица размера $m\times n$.

Аналогичным образом можно определить левое полярное разложение $A=P'V,$где
$P'$ --- неотрицательно определенная матрица размера $m\times n$,
а $V$ --- ортогональная матрица размера $n\times n.$

В отличие от сингулярного разложения, полярное разложение не единственно,
но, если матрица $A$ квадратная и не вырождена, то полярное разложение
единственно и определяется как $A=UP,$ где $U$ --- ортогональная
матрица размера $m\times m$, а $P$ --- симметричная положительно
определенная матрица того--же размера, которая может быть интерпретирована
как квадратный корень из матрицы $A^{\dagger}A$.

Если уже есть сингулярное разложение $A=U\cdot\Sigma\cdot V^{\dagger},$
то полярное получается из него просто $A=U\cdot\Sigma\cdot V^{\dagger}=U\cdot P=P'\cdot V^{\dagger}.$
Если его нет, то можно найти отдельно, например для квадратных матриц:

Алгоритм нахождения левого полярного разложения. 

  * Составляем матрицу $AA^{*}$.
  * Вычисляем $P=\sqrt{AA^{*}}$, для этого сначала находим спектр $AA^{*}$ в виде $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{m}$; 
  * находим ОНБ из собственных векторов, в котором $AA^{*}$ имеет диагональный вид $D$, $T$ --- матрица перехода к этому базису; 
  * вычисляем $P=T\sqrt{D}T^{-1}$. 
  * ищем матрицу $V$ такую, чтобы $A=PV$. Если $\det A\neq0$, то $V=P^{-1}A.$ 

Алгоритм нахождения правого полярного разложения получается из алгоритма
левого полярного разложения заменой $AA^{*}$ на $A^{*}A$, а $V=P^{-1}A$
на $U=AP^{-1}$.