===== Процесс ортогонализации Грама - Шмидта ===== 

Пусть дан произвольный базис $(e_{1},\dots,e_{n})$ векторного пространства
$V.$ Построим ортогональный базис $(f_{1},\dots,f_{n})$. 

1) Положим $f_{1}$ равным $e_{1}$, т е. $f_{1}=e_{1}.$ 

2) Далее второй базисный вектор $f_{2}$ найдём из условия ортогональности:
$f_{2}\bot f_{1},$которое записывается в виде скалярного произведения
$(f_{1},f_{2})=0.$ Для этого рассмотрим вектор $f_{2}=e_{2}-\alpha f_{1}$
и найдём коэффициент $\alpha$:

$$0=(f_{1},f_{2})=(f_{1},e_{2}-\alpha f_{1})=(f_{1},e_{2})-\alpha(f_{1},f_{1}),$$

следовательно, $\alpha=\frac{(f_{1},e_{2})}{(f_{1},f_{1})}$ так,
что

$$f_{2}=e_{2}-\frac{(f_{1},e_{2})}{(f_{1},f_{1})}f_{1}.$$

3) Следующие шаги проводим аналогично. Третий базисный вектор $f_{3}$
ищем как ортогональную составляющую вектора $e_{3}$ относительно
подпространства $\left\langle f_{1},f_{2}\right\rangle $, т.е. полагаем
$$f_{3}=e_{3}-\alpha_{1}f_{1}-\alpha_{2}f_{2},$$ где $\alpha_{1},\alpha_{2}$
некоторые коэффициенты. Исходя из ортогональности $f_{3}\bot f_{1}$
и $f_{3}\bot f_{2}$ получаем систему:

$$\left\{ \begin{array}{l}
0=(f_{1},f_{3})=(f_{1},e_{3}-\alpha_{1}f_{1}-\alpha_{2}f_{2})=(f_{1},e_{3})-\alpha_{1}(f_{1},f_{1})-\alpha_{2}(f_{1},f_{2})\\
0=(f_{2},f_{3})=(f_{2},e_{3}-\alpha_{1}f_{1}-\alpha_{2}f_{2})=(f_{2},e_{3})-\alpha_{1}(f_{2},f_{1})-\alpha_{2}(f_{2},f_{2})
\end{array}\right.$$

следовательно

$$\left\{ \begin{array}{l}
0=(f_{1},e_{3})-\alpha_{1}(f_{1},f_{1})\\
0=(f_{2},e_{3})-\alpha_{2}(f_{2},f_{2})
\end{array}\right.$$

и

$$\alpha_{1}=\frac{(f_{1},e_{3})}{(f_{1},f_{1})},\,\,\,\alpha_{2}=\frac{(f_{2},e_{3})}{(f_{2},f_{2})}.$$

На $k$--том шаге получим 

$$f_{k}=e_{k}-\alpha_{1}f_{1}-\ldots-\alpha_{k-1}f_{k-1}$$

и 

$$\alpha_{i}=\frac{(f_{i},e_{k})}{(f_{i},f_{i})},i=1,2,\dots,k.$$

==== Пример  ====

Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства,
натянутого на систему векторов 
$$e_{1}=(2,1,3,-1)^{T},e_{2}=(7,4,3,-3)^{T},e_{3}=(1,1,-6,0)^{T},e_{4}=(5,7,7,8)^{T}.$$

1) Положим $f_{1}=e_{1}=(2,1,3,-1)^{T}.$ 

2) Далее найдём $f_{2}=e_{2}-\alpha f_{1}.$ 

Где

$$\alpha=\frac{(f_{1},e_{2})}{(f_{1},f_{1})}=\frac{((2,1,3,-1)^{T},(7,4,3,-3)^{T})}{((2,1,3,-1)^{T},(2,1,3,-1)^{T})}=\frac{2\cdot7+1\cdot4+3\cdot3+(-1)\cdot(-3)}{2\cdot2+1\cdot1+3\cdot3+(-1)\cdot(-1)}=\frac{14+4+9+3}{4+1+9+1}=\frac{30}{15}=2.$$

Следовательно, 

$$f_{2}=e_{2}-\alpha f_{1}=(7,4,3,-3)^{T}-2\cdot(2,1,3,-1)^{T}=(3,2,-3,-1)^{T}.$$

3) Далее $f_{3}=e_{3}-\alpha_{1}f_{1}-\alpha_{2}f_{2}$ и 

$$\alpha_{1}=\frac{(f_{1},e_{3})}{(f_{1},f_{1})}=\frac{((2,1,3,-1)^{T},(1,1,-6,0)^{T})}{((2,1,3,-1)^{T},(2,1,3,-1)^{T})}=\frac{2\cdot1+1\cdot1+3\cdot(-6)-1\cdot0}{15}=\frac{-15}{15}=-1.$$

$$\alpha_{2}=\frac{(f_{2},e_{3})}{(f_{2},f_{2})}=\frac{((3,2,-3,-1)^{T},(1,1,-6,0)^{T})}{((3,2,-3,-1)^{T},(3,2,-3,-1)^{T})}=\frac{3\cdot1+2\cdot1-3\cdot(-6)-1\cdot0}{3\cdot3+2\cdot2-3\cdot(-3)-1\cdot(-1)}=\frac{23}{23}=1.$$

Следовательно, 

$$f_{3}=e_{3}-\alpha_{1}f_{1}-\alpha_{2}f_{2}=(1,1,-6,0)^{T}+(2,1,3,-1)^{T}-(3,2,-3,-1)^{T}=(0,0,0,0)^{T}$$

тогда можно сказать, что вектор $e_{3}$ лежит в подпространстве $\left\langle f_{1},f_{2}\right\rangle .$

3) Продолжим $f_{3}=e_{4}-\alpha_{1}f_{1}-\alpha_{2}f_{2}$, тогда 

$$\alpha_{1}=\frac{(f_{1},e_{4})}{(f_{1},f_{1})}=\frac{((2,1,3,-1)^{T},(5,7,7,8)^{T})}{((2,1,3,-1)^{T},(2,1,3,-1)^{T})}=\frac{2\cdot5+1\cdot7+3\cdot7-1\cdot8}{15}=\frac{30}{15}=2.$$

$$\alpha_{2}=\frac{(f_{2},e_{4})}{(f_{2},f_{2})}=\frac{((3,2,-3,-1)^{T},(5,7,7,8)^{T})}{((3,2,-3,-1)^{T},(3,2,-3,-1)^{T})}=\frac{3\cdot5+2\cdot7-3\cdot7-1\cdot8}{3\cdot3+2\cdot2-3\cdot(-3)-1\cdot(-1)}=\frac{0}{23}=0.$$

Следовательно, 

$$f_{3}=e_{4}-\alpha_{1}f_{1}-\alpha_{2}f_{2}=(5,7,7,8)^{T}-2\cdot(2,1,3,-1)^{T}-0\cdot(3,2,-3,-1)^{T}=(1,5,1,10)^{T}.$$

Таким образом ортогональный базис пространства $\left\langle e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\right\rangle $
натянут на три ортогональных вектора:

$$f_{1}=(2,1,3,-1)^{T};f_{2}=(3,2,-3,-1)^{T};f_{3}=(1,5,1,10)^{T}.$$