===== Контрольная работа №2. Определители — подготовка =====

Контрольная пройдёт на занятии 9. Ниже — темы и примерный вариант: в настоящей контрольной задачи будут того же типа, но с другими числами.

==== Что нужно уметь ====

  * Считать число инверсий и определять чётность перестановки; находить знак, с которым произведение элементов входит в определитель ([[235|235]], [[236|236]], [[237|237]], [[248|248]], [[250|250]]).
  * Вычислять определители 2-го и 3-го порядка, знать и применять свойства определителей ([[det23-svoystva|конспект]]).
  * Вычислять числовые определители 4-го порядка: приведение к треугольному виду, разложение по строке или столбцу ([[265|265]], [[266|266]], [[267|267]], [[273|273]], [[275|275]], [[279|279]]).
  * Вычислять определители порядка $n$ ([[294|294]], [[295|295]], [[299|299]], [[320|320]], [[321|321]]).
  * Знать определитель Вандермонда ([[vandermonde|формула и доказательство]], [[278|278]]).
  * Решать системы по правилу Крамера ([[400|400]]).

==== Примерный вариант ====

**1.** а) Найти число инверсий и определить чётность перестановки $(3,6,1,5,2,4)$.

б) С каким знаком входит в определитель 5-го порядка произведение $a_{13}a_{25}a_{31}a_{44}a_{52}$?

**2.** Решить уравнение
$$\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}=0.$$

**3.** Вычислить определитель
$$\begin{vmatrix}1&2&-1&3\\2&1&0&-1\\3&-1&2&1\\-1&3&1&2\end{vmatrix}.$$

**4.** Вычислить определитель
$$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\2&3&5&-1\\4&9&25&1\\8&27&125&-1\end{vmatrix}.$$

**5.** Вычислить определитель порядка $n$
$$\begin{vmatrix}3&2&2&\dots&2\\2&3&2&\dots&2\\2&2&3&\dots&2\\\vdots&&&&\vdots\\2&2&2&\dots&3\end{vmatrix}.$$

**6.** Решить систему по правилу Крамера:
$$\begin{cases}2x+y-z=1,\\x-y+2z=7,\\3x+2y+z=6.\end{cases}$$

==== Ответы для самопроверки ====

**1.** а) $8$ инверсий, перестановка чётная; б) со знаком «плюс» (в перестановке $(3,5,1,4,2)$ шесть инверсий).

**2.** $x=1$, $x=-2$ (определитель равен $(x-1)^2(x+2)$).

**3.** $90$.

**4.** $-432$ (определитель Вандермонда для чисел $2,3,5,-1$).

**5.** $2n+1$.

**6.** $\Delta=-10$, $\Delta_x=-20$, $\Delta_y=10$, $\Delta_z=-20$; $\ x=2$, $y=-1$, $z=2$.