====== Задача 844 ======

**Условие:** Составить уравнение гиперболы, зная уравнения ее асимптот $y = \pm \frac{x}{2}$ и уравнение одной из ее касательных $5x - 6y - 8 = 0$.

**Решение:**

Асимптоты проходят через начало координат, значит центр гиперболы находится в начале координат. Возможны два варианта расположения гиперболы:

1. Фокусы на оси $Ox$: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, асимптоты $y = \pm \frac{b}{a}x$. Тогда $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$, откуда $b = \frac{a}{2}$.
2. Фокусы на оси $Oy$: $\displaystyle \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$, асимптоты $y = \pm \frac{a}{b}x$. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$, откуда $b = 2a$.

Дана касательная $5x - 6y - 8 = 0$. Запишем её в виде с угловым коэффициентом:
$$y = \frac{5}{6}x - \frac{4}{3},$$
т.е. $k = \frac{5}{6}$, $m = -\frac{4}{3}$.

**Первый вариант:** гипербола $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ с $b = \frac{a}{2}$. Условие касания прямой $y = kx + m$ к такой гиперболе:
$$a^2 k^2 - b^2 = m^2.$$
Подставляем:
$$a^2 \cdot \frac{25}{36} - \frac{a^2}{4} = \frac{16}{9},$$
$$\frac{25a^2}{36} - \frac{9a^2}{36} = \frac{16a^2}{36} = \frac{4a^2}{9} = \frac{16}{9},$$
откуда $a^2 = 4$, тогда $b^2 = \frac{a^2}{4} = 1$. Получаем уравнение $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$.

**Второй вариант:** гипербола $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ с $b = 2a$. Условие касания для такого типа (выводится аналогично) имеет вид:
$$a^2 = b^2 k^2 + m^2.$$
Подставляем $b^2 = 4a^2$:
$$a^2 = 4a^2 \cdot \frac{25}{36} + \frac{16}{9} = \frac{100a^2}{36} + \frac{16}{9} = \frac{25a^2}{9} + \frac{16}{9},$$
умножаем на 9:
$$9a^2 = 25a^2 + 16 \quad \Rightarrow \quad 16a^2 = -16,$$
что невозможно. Следовательно, второй вариант не подходит.

Таким образом, искомая гипербола:
$$\frac{x^2}{4} - y^2 = 1.$$

**Ответ:** $$\boxed{\frac{x^2}{4} - y^2 = 1}.$$