====== Задача 843 ======

**Условие:** Гипербола, оси которой совпадают с осями координат, касается прямой $x - y - 2 = 0$ в точке $M = (4, 2)$. Составить уравнение этой гиперболы.

**Решение:**

Так как оси гиперболы совпадают с осями координат, её центр находится в начале координат. Возможны два варианта расположения:
1. Фокусы на оси $Ox$: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
2. Фокусы на оси $Oy$: $\displaystyle \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$.

Точка $M(4,2)$ лежит на гиперболе и является точкой касания с прямой $x - y - 2 = 0$.

**Первый случай:** $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
Подставляем координаты точки $M$:
$$\frac{16}{a^2} - \frac{4}{b^2} = 1. \tag{1}$$
Уравнение касательной к гиперболе в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид:
$$\frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 1.$$
Для $M(4,2)$ получаем:
$$\frac{4x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} = 1. \tag{2}$$
Данная прямая $x - y - 2 = 0$ или $x - y = 2$. Чтобы прямая (2) совпадала с ней, необходимо существование такого числа $\lambda$, что коэффициенты при $x$ и $y$ и свободный член пропорциональны:
$$\frac{4}{a^2} = \lambda \cdot 1, \quad -\frac{2}{b^2} = \lambda \cdot (-1), \quad 1 = \lambda \cdot 2.$$
Из последнего равенства $\lambda = \frac{1}{2}$. Тогда
$$\frac{4}{a^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a^2 = 8,$$
$$\frac{2}{b^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow b^2 = 4.$$
Проверяем условие (1): $\frac{16}{8} - \frac{4}{4} = 2 - 1 = 1$ — выполняется.

**Второй случай:** $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$.
Подставляем $M(4,2)$:
$$\frac{4}{a^2} - \frac{16}{b^2} = 1. \tag{3}$$
Уравнение касательной в этом случае:
$$\frac{y y_0}{a^2} - \frac{x x_0}{b^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{2y}{a^2} - \frac{4x}{b^2} = 1.$$
Приводим к виду $-\frac{4}{b^2}x + \frac{2}{a^2}y = 1$. Сравниваем с $x - y = 2$:
$$-\frac{4}{b^2} = \lambda \cdot 1, \quad \frac{2}{a^2} = \lambda \cdot (-1), \quad 1 = \lambda \cdot 2.$$
Из последнего $\lambda = \frac{1}{2}$, тогда $-\frac{4}{b^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow b^2 = -8$, что невозможно. Следовательно, второй случай не реализуется.

Таким образом, гипербола имеет уравнение $\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{4} = 1$.

**Ответ:** $$\boxed{\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{4} = 1}.$$