====== Задача 832 ======

**Условие:** Найти кратчайшее расстояние параболы $y^2 = 64x$ от прямой $4x + 3y + 46 = 0$.

**Решение:**

Расстояние от точки $(x, y)$ до прямой $4x + 3y + 46 = 0$ вычисляется по формуле
$$d = \frac{|4x + 3y + 46|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|4x + 3y + 46|}{5}.$$

Точки параболы удовлетворяют $y^2 = 64x$, откуда $x = \frac{y^2}{64}$. Подставим в выражение под модулем:
$$f(y) = 4 \cdot \frac{y^2}{64} + 3y + 46 = \frac{y^2}{16} + 3y + 46.$$

Получили квадратичную функцию. Её график — парабола, ветви вверх. Найдём вершину:
$$f'(y) = \frac{y}{8} + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -24.$$
Тогда
$$f(-24) = \frac{(-24)^2}{16} + 3 \cdot (-24) + 46 = \frac{576}{16} - 72 + 46 = 36 - 72 + 46 = 10.$$

Дискриминант квадратного трёхчлена $f(y)$:
$$D = 3^2 - 4 \cdot \frac{1}{16} \cdot 46 = 9 - \frac{184}{16} = 9 - 11.5 = -2.5 < 0,$$
значит, $f(y)$ не имеет действительных корней и сохраняет знак. При $y = 0$ имеем $f(0) = 46 > 0$, поэтому $f(y) > 0$ для всех $y$. Следовательно, модуль можно опустить, и минимальное значение $|f(y)|$ совпадает с минимумом $f(y)$, равным $10$.

Таким образом, кратчайшее расстояние от параболы до прямой равно
$$d_{\min} = \frac{10}{5} = 2.$$

**Ответ:** $\boxed{2}$.