====== Задача 801 ======

**Условие:** Через фокус параболы проведена хорда, образующая с ее осью угол $\frac{\pi}{3}$. Найти отношение, в котором фокус делит эту хорду.

**Решение:**

Рассмотрим каноническое уравнение параболы $y^2 = 2px$ (ось $Ox$ — ось параболы). Фокус $F$ имеет координаты $\left( \frac{p}{2}, 0 \right)$.

Хорда проходит через фокус под углом $\alpha = \frac{\pi}{3}$ к оси $Ox$. Её уравнение:
$$y = \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} \left( x - \frac{p}{2} \right) = \sqrt{3} \left( x - \frac{p}{2} \right).$$

Найдём точки пересечения этой прямой с параболой. Подставим $y$ в уравнение параболы:
$$\left( \sqrt{3} \left( x - \frac{p}{2} \right) \right)^2 = 2px,$$
$$3 \left( x - \frac{p}{2} \right)^2 = 2px.$$

Раскрываем скобки:
$$3 \left( x^2 - px + \frac{p^2}{4} \right) = 2px,$$
$$3x^2 - 3px + \frac{3p^2}{4} = 2px,$$
$$3x^2 - 5px + \frac{3p^2}{4} = 0.$$

Умножим на 4:
$$12x^2 - 20px + 3p^2 = 0.$$

Решаем квадратное уравнение относительно $x$:
$$D = (20p)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 3p^2 = 400p^2 - 144p^2 = 256p^2, \quad \sqrt{D} = 16p,$$
$$x_{1,2} = \frac{20p \pm 16p}{24} = \frac{20p \pm 16p}{24}.$$

Получаем два корня:
$$x_1 = \frac{20p + 16p}{24} = \frac{36p}{24} = \frac{3p}{2},$$
$$x_2 = \frac{20p - 16p}{24} = \frac{4p}{24} = \frac{p}{6}.$$

Соответствующие ординаты:
$$y_1 = \sqrt{3} \left( \frac{3p}{2} - \frac{p}{2} \right) = \sqrt{3} \cdot p = \sqrt{3}\,p,$$
$$y_2 = \sqrt{3} \left( \frac{p}{6} - \frac{p}{2} \right) = \sqrt{3} \left( \frac{p}{6} - \frac{3p}{6} \right) = \sqrt{3} \left( -\frac{2p}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}\,p}{3}.$$

Таким образом, точки пересечения:
$$A\left( \frac{p}{6},\; -\frac{\sqrt{3}\,p}{3} \right), \quad B\left( \frac{3p}{2},\; \sqrt{3}\,p \right),$$
а фокус $F\left( \frac{p}{2},\; 0 \right)$.

Вычислим расстояния от фокуса до этих точек:
$$FA = \sqrt{ \left( \frac{p}{2} - \frac{p}{6} \right)^2 + \left( 0 + \frac{\sqrt{3}\,p}{3} \right)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{p}{3} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}\,p}{3} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{p^2}{9} + \frac{3p^2}{9} } = \sqrt{ \frac{4p^2}{9} } = \frac{2p}{3},$$
$$FB = \sqrt{ \left( \frac{3p}{2} - \frac{p}{2} \right)^2 + \left( \sqrt{3}\,p - 0 \right)^2 } = \sqrt{ p^2 + 3p^2 } = \sqrt{4p^2} = 2p.$$

Следовательно, $FA : FB = \frac{2p}{3} : 2p = 1 : 3$.

Итак, фокус делит хорду в отношении $1:3$ (считая от ближайшей к фокусу точки).

**Ответ:** $\boxed{1:3}$