====== Задача 799 ======

**Условие:** Составить уравнение параболы $y^2 = 8x$ в полярных координатах.

**Решение:**

Дана парабола $y^2 = 8x$. Сравнивая с каноническим уравнением $y^2 = 2px$, находим $2p = 8$, откуда $p = 4$. Фокус параболы находится в точке $F\left( \frac{p}{2}, 0 \right) = (2, 0)$, вершина — в начале координат.

Для получения уравнения в полярных координатах поместим полюс в фокус параболы, а полярную ось направим вдоль оси параболы (ось $Ox$) в сторону от фокуса к вершине? На самом деле стандартное уравнение конического сечения с фокусом в полюсе имеет вид:
$$\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\varphi},$$
где $e$ — эксцентриситет, $p$ — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы). Для параболы $e = 1$, а $p$ совпадает с параметром параболы, т.е. $p = 4$. При этом парабола открыта вправо (в сторону увеличения $x$), поэтому в знаменателе стоит $1 - \cos\varphi$ (при $\varphi = 0$ знаменатель обращается в нуль, что соответствует бесконечно удалённой точке — направлению оси).

Таким образом, получаем:
$$\rho = \frac{4}{1 - \cos\varphi}.$$

Проверим: при $\varphi = \pi$ (точка слева от фокуса) имеем $\rho = \frac{4}{1 - (-1)} = \frac{4}{2} = 2$, что соответствует расстоянию от фокуса до вершины (вершина находится в точке $(-2, 0)$ относительно фокуса, т.е. на расстоянии 2 влево). Это верно, поскольку вершина исходной параболы находится в $(0,0)$, а фокус в $(2,0)$, так что расстояние между ними равно 2.

**Ответ:** $$\boxed{\rho = \frac{4}{1 - \cos\varphi}}.$$