=== Условие задачи ===  
Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находится в точке \((2,0)\), соответствующая ему директриса имеет уравнение \(x = 5\), зная, что линия проходит через точку \((10,6)\). Найти второй фокус и вторую директрису этой линии.

=== Решение ===  
**1. Определение эксцентриситета.**  
Для произвольной точки \((x,y)\) на кривой отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы есть эксцентриситет \(e\):  
\[
\frac{\sqrt{(x-2)^2 + y^2}}{|x-5|} = e.
\]  
Подставляем точку \((10,6)\):  
\[
\sqrt{(10-2)^2 + 6^2} = \sqrt{64+36}=10,\qquad |10-5|=5,
\]  
\[
e = \frac{10}{5} = 2.
\]

**2. Составление уравнения.**  
Условие для текущей точки \((x,y)\):  
\[
\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = 2\,|x-5|.
\]  
Возводим в квадрат:  
\[
(x-2)^2 + y^2 = 4(x-5)^2.
\]  
Раскрываем скобки:  
\[
x^2 -4x +4 + y^2 = 4(x^2 -10x +25) = 4x^2 -40x +100,
\]  
\[
0 = 4x^2 -40x +100 - x^2 +4x -4 - y^2 = 3x^2 -36x +96 - y^2.
\]  
Приводим к каноническому виду:  
\[
3x^2 - y^2 -36x +96 = 0,
\]  
\[
3(x^2 -12x) - y^2 +96 = 0,
\]  
\[
3\bigl((x-6)^2 -36\bigr) - y^2 +96 = 0,
\]  
\[
3(x-6)^2 -108 - y^2 +96 = 0,
\]  
\[
3(x-6)^2 - y^2 = 12,
\]  
\[
\frac{(x-6)^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1.
\]  
Получено каноническое уравнение гиперболы с центром в \((6,0)\).

**3. Параметры гиперболы.**  
\[
a^2 = 4 \Rightarrow a = 2,\qquad b^2 = 12 \Rightarrow b = 2\sqrt3,
\]  
\[
c^2 = a^2 + b^2 = 4+12 = 16 \Rightarrow c = 4.
\]  
Фокусы: \((6\pm c,\,0) = (10,0)\) и \((2,0)\).  
Директрисы: \(x = 6 \pm \dfrac{a^2}{c} = 6 \pm \dfrac{4}{4} = 6 \pm 1\), т.е. \(x = 7\) и \(x = 5\).

**4. Ответ.**  
Уравнение линии:  
\[
\boxed{\dfrac{(x-6)^2}{4} - \dfrac{y^2}{12} = 1}
\]  
или  
\[
\boxed{3x^2 - y^2 -36x +96 = 0}.
\]  
Второй фокус: \(\boxed{(10,0)}\).  
Вторая директриса: \(\boxed{x = 7}\).