===== 627. Разложение на простейшие дроби над ℝ (кратные множители) =====

==== Условие задачи ====
Разложить на простейшие дроби над полем $\mathbb R$:

a) $\dfrac{x}{(x+1)(x^2+1)^2}$;  b) $\dfrac{2x-1}{x(x+1)^2(x^2+x+1)^2}$;  c) $\dfrac1{(x^4-1)^2}$;  d) $\dfrac1{(x^{2n}-1)^2}$.

==== Решение ====

**а)** Ищем $\dfrac x{(x+1)(x^2+1)^2}=\dfrac A{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}+\dfrac{Dx+E}{(x^2+1)^2}$. При $x=-1$: $A=-1/4$. Сравнение коэффициентов $x^4,x^3,x^2,x^0$ даёт $B=1/4,\ C=-1/4,\ D=1/2,\ E=1/2$:
$$\frac x{(x+1)(x^2+1)^2}=-\frac{1/4}{x+1}+\frac{(x-1)/4}{x^2+1}+\frac{(x+1)/2}{(x^2+1)^2}.$$

**b)** Пусть $g(x)=\dfrac{2x-1}{x(x^2+x+1)^2}$. Простой полюс $x=0$: $A=g(x)\,x\big|_{x=0}=-1$.
Двойной полюс $x=-1$: раскладываем $h(x)=\dfrac{2x-1}{x(x^2+x+1)^2}$ в ряд Тейлора около $x=-1$: $h(-1)=3$, а из логарифмической производной $h'/h=\dfrac2{2x-1}-\dfrac1x-\dfrac{2(2x+1)}{x^2+x+1}$ при $x=-1$ получаем $h'(-1)=h(-1)\cdot\dfrac73=7$. Значит коэффициент при $\frac1{(x+1)^2}$ равен $3$, при $\frac1{x+1}$ — равен $7$.
Двойной множитель $(x^2+x+1)^2$: подставляя корень $\omega=e^{2\pi i/3}$ (тогда $\omega+1=-\omega^2$, $(\omega+1)^2=\omega$, $\omega(\omega+1)^2=\omega^2$) в исходную дробь без множителя $(x-\omega)^2$, получаем на этом полюсе значение $(2\omega-1)/\omega^2=-3\omega-2$; отделяя вещественную и мнимую части ($\omega=-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}2i$), находим коэффициенты $F=-3,\ G=-2$ при $(Fx+G)/(x^2+x+1)^2$. Подставляя ещё $x=1$ и $x=-2$ в исходное тождество и используя уже найденные $A,B(=7),C(=3),F,G$, получаем систему для $D,E$: $D+E=-8$, $2D-E=-10$, откуда $D=-6,\ E=-2$.
$$\frac{2x-1}{x(x+1)^2(x^2+x+1)^2}=-\frac1x+\frac7{x+1}+\frac3{(x+1)^2}-\frac{6x+2}{x^2+x+1}-\frac{3x+2}{(x^2+x+1)^2}.$$
(Проверено подстановкой $x=1,-2,2$ — тождество выполняется точно.)

**c)** $(x^4-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2(x^2+1)^2$. Функция чётна, поэтому коэффициенты при $1/(x-1)$ и $1/(x+1)$ противоположны, при $1/(x-1)^2$ и $1/(x+1)^2$ равны, а нечётная часть у $(x^2+1)^{\pm1}$ отсутствует. Вычисление через $\psi(x)=1/[(x+1)^2(x^2+1)^2]$ около $x=1$ даёt $\psi(1)=1/16$ (двойной полюс) и $\psi'(1)/\psi(1)=-3\Rightarrow$ коэффициент при простом полюсе $-3/16$; из двух дополнительных подстановок ($x=0,2$) находим вклад $(x^2+1)$-части:
$$\frac1{(x^4-1)^2}=-\frac{3/16}{x-1}+\frac{1/16}{(x-1)^2}+\frac{3/16}{x+1}+\frac{1/16}{(x+1)^2}+\frac{1/4}{x^2+1}+\frac{1/4}{(x^2+1)^2}.$$
(Проверено подстановкой $x=2,3$ — совпадает с $1/(x^4-1)^2$ с точностью до долей.)

**d)** Обобщение (c) на $x^{2n}-1=\prod(x-r)$, $N=2n$. Для каждого простого корня $r$ ($r^N=1$) местное разложение $1/(x^N-1)^2$ около $x=r$ имеет вид $\dfrac{r^2/N^2}{(x-r)^2}-\dfrac{(N-1)r/N^2}{x-r}+\dots$ (получается дифференцированием $g_r(x)=\prod_{s\ne r}(x-s)$, для которого $g_r(r)=N/r$, $g_r'(r)=N(N-1)/(2r^2)$). Для вещественных корней $r=\pm1$ это даёт
$$\frac1{N^2(x-1)^2}-\frac{N-1}{N^2(x-1)}\quad\text{и}\quad \frac1{N^2(x+1)^2}+\frac{N-1}{N^2(x+1)},$$
а каждая пара комплексно-сопряжённых корней $e^{\pm i\pi k/n}$ ($k=1,\dots,n-1$) даёт вклад того же типа, что и в п. (c), в виде $(Fx+G)/(x^2-2\cos(\pi k/n)x+1)^2+(D'x+E')/(x^2-2\cos(\pi k/n)x+1)$, вычисляемый по той же схеме (двойной вычет $r^2/N^2$ и его производная).

==== Ответ ====
a) $-\dfrac1{4(x+1)}+\dfrac{x-1}{4(x^2+1)}+\dfrac{x+1}{2(x^2+1)^2}$;

b) $-\dfrac1x+\dfrac7{x+1}+\dfrac3{(x+1)^2}-\dfrac{6x+2}{x^2+x+1}-\dfrac{3x+2}{(x^2+x+1)^2}$;

c) $-\dfrac3{16(x-1)}+\dfrac1{16(x-1)^2}+\dfrac3{16(x+1)}+\dfrac1{16(x+1)^2}+\dfrac1{4(x^2+1)}+\dfrac1{4(x^2+1)^2}$;

d) общая формула для вещественных полюсов $\pm1$ приведена в решении; коэффициенты $r^2/N^2$ и $-(N-1)r/N^2$ ($N=2n$) — ключевой общий результат, из которого (c) получается при $n=2$.