===== Задача 6.9a =====
Найти все значения $\lambda$, при которых вектор $b$ линейно выражается через векторы $a_1, a_2, a_3$:
$$a_1 = (2, 3, 5),\quad a_2 = (3, 7, 8),\quad a_3 = (1, -6, 1),\quad b = (7, -2, \lambda).$$

==== Решение ====
Вектор $b$ линейно выражается через $a_1, a_2, a_3$ тогда и только тогда, когда система линейных уравнений
$$x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 = b$$
имеет решение. Составим расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду:
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & 1 & 7 \\
3 & 7 & -6 & -2 \\
5 & 8 & 1 & \lambda
\end{array}\right).
$$

Выполним элементарные преобразования. Умножим первую строку на $\frac{1}{2}$, но чтобы избежать дробей, применим метод Гаусса. Из второй строки вычтем первую, умноженную на $\frac{3}{2}$, из третьей – первую, умноженную на $\frac{5}{2}$. После умножения полученных строк на 2 получим:
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & 1 & 7 \\
0 & 5 & -15 & -25 \\
0 & 1 & -3 & 2\lambda -35
\end{array}\right).
$$

Вторая строка пропорциональна $(1, -3, -5)$. Третья строка имеет вид $(1, -3, 2\lambda-35)$. Для совместности системы необходимо, чтобы третья строка была пропорциональна второй с тем же коэффициентом, то есть
$$2\lambda - 35 = -5.$$
Отсюда $2\lambda = 30$, $\lambda = 15$.

При $\lambda = 15$ третья строка становится равной $(1,-3,-5)$, что после вычитания второй даёт нулевую строку, и система имеет решение. При других $\lambda$ система несовместна.

==== Ответ ====
$$\boxed{\lambda = 15}$$