===== 589. Построение многочлена по заданным (комплексным) корням =====

==== Условие задачи ====
Построить многочлены наименьшей степени с комплексными коэффициентами по данным корням:

a) двойной корень $1$, простые $2,3$ и $1+i$;

b) тройной корень $-1$, простые $3$ и $4$;

c) двойной корень $i$, простой $-1-i$.

==== Решение ====
Так как коэффициенты могут быть комплексными, дополнительных (сопряжённых) корней добавлять не нужно — искомый многочлен есть просто произведение $(x-x_k)^{m_k}$ по заданным корням с их кратностями.

**а)** Степень $2+1+1+1=5$:
$$p(x)=(x-1)^2(x-2)(x-3)(x-1-i).$$
Раскрывая: $(x-1)^2(x-2)(x-3)=x^4-7x^3+17x^2-17x+6$, и после умножения на $(x-1-i)$:
$$p(x)=x^5-(8+i)x^4+(24+7i)x^3-(34+17i)x^2+(23+17i)x-(6+6i).$$

**b)** Степень $3+1+1=5$:
$$p(x)=(x+1)^3(x-3)(x-4)=x^5-4x^4-6x^3+16x^2+29x+12.$$

**c)** Степень $2+1=3$:
$$p(x)=(x-i)^2(x+1+i)=x^3+(1-i)x^2+(1-2i)x-(1+i).$$

==== Ответ ====
a) $(x-1)^2(x-2)(x-3)(x-1-i)$;

b) $(x+1)^3(x-3)(x-4)=x^5-4x^4-6x^3+16x^2+29x+12$;

c) $(x-i)^2(x+1+i)=x^3+(1-i)x^2+(1-2i)x-(1+i)$.