===== 587. Разложение на линейные множители =====

==== Условие задачи ====
Разложить на линейные множители многочлены:

a) $x^3-6x^2+11x-6$;

b) $x^4+4$;

c) $x^4+4x^3+4x^2+1$;

d) $x^4-10x^2+1$.

==== Решение ====

**а)** Подбором: $f(1)=1-6+11-6=0$, значит $x=1$ — корень. Деление даёт $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Итого
$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).$$

**b)** По тождеству Софи Жермен $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$. Корни квадратных множителей: $x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-8}}2=1\pm i$ и $x=-1\pm i$. Значит
$$x^4+4=(x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i).$$

**c)** Заметим, что $x^4+4x^3+4x^2=x^2(x+2)^2=(x^2+2x)^2$, поэтому
$$x^4+4x^3+4x^2+1=(x^2+2x)^2+1=(x^2+2x+i)(x^2+2x-i).$$
Решая $x^2+2x+i=0$: $x=-1\pm\sqrt{1-i}$, а $x^2+2x-i=0$ даёт $x=-1\pm\sqrt{1+i}$. Извлекая корень из $1\mp i=\sqrt2\,e^{\mp i\pi/4}$ в алгебраической форме ($\sqrt{p^2}-q^2=1,\ 2pq=\mp1$), получаем
$$\sqrt{1-i}=\sqrt{\tfrac{1+\sqrt2}2}-i\sqrt{\tfrac{\sqrt2-1}2},\qquad \sqrt{1+i}=\sqrt{\tfrac{1+\sqrt2}2}+i\sqrt{\tfrac{\sqrt2-1}2}.$$
Итого все четыре линейных множителя $(x-x_k)$ отвечают корням
$$x_{1,2}=-1\pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{1+\sqrt2}2}-i\sqrt{\tfrac{\sqrt2-1}2}\Bigr),\qquad x_{3,4}=-1\pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{1+\sqrt2}2}+i\sqrt{\tfrac{\sqrt2-1}2}\Bigr)$$
(численно $\sqrt{1-i}\approx1{,}0987-0{,}4551i$, так что корни $\approx0{,}0987\mp0{,}4551i$ и $\approx-2{,}0987\pm0{,}4551i$).

**d)** Рассматривая как квадратное относительно $x^2$: $x^2=\dfrac{10\pm\sqrt{100-4}}2=5\pm2\sqrt6$. Замечая, что $5+2\sqrt6=(\sqrt2+\sqrt3)^2$ и $5-2\sqrt6=(\sqrt3-\sqrt2)^2$, получаем $x=\pm(\sqrt2+\sqrt3)$ и $x=\pm(\sqrt3-\sqrt2)$, то есть
$$x^4-10x^2+1=(x-\sqrt2-\sqrt3)(x+\sqrt2+\sqrt3)(x-\sqrt3+\sqrt2)(x+\sqrt3-\sqrt2).$$

==== Ответ ====
a) $(x-1)(x-2)(x-3)$;

b) $(x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i)$;

c) $(x^2+2x+i)(x^2+2x-i)$, корни $-1\pm\sqrt{1\mp i}$ (см. решение);

d) $(x-\sqrt2-\sqrt3)(x+\sqrt2+\sqrt3)(x+\sqrt2-\sqrt3)(x-\sqrt2+\sqrt3)$.