=== Условие задачи 585 ===  
1) Написать уравнения общего перпендикуляра к двум прямым:  
\[
\frac{x-1}{8} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{1}, \quad \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-2} = \frac{z+1}{1}
\]  
и найти расстояние \( d \) между этими прямыми;  
2) найти точки пересечения общего перпендикуляра к данным прямым с этими прямыми.

=== Решение ===  
**1. Исходные данные**  
Первая прямая: направляющий вектор \(\vec{s_1} = (8,4,1)\), точка \(A_1(1,2,3)\).  
Вторая прямая: направляющий вектор \(\vec{s_2} = (2,-2,1)\), точка \(A_2(1,0,-1)\).

**2. Направляющий вектор общего перпендикуляра**  
\[
\vec{n} = \vec{s_1} \times \vec{s_2} = (8,4,1) \times (2,-2,1) = (6,-6,-24) \sim (1,-1,-4).
\]

**3. Расстояние между прямыми**  
Смешанное произведение векторов \(\overrightarrow{A_1A_2}\), \(\vec{s_1}\), \(\vec{s_2}\):  
\[
\overrightarrow{A_1A_2} = (0,-2,-4),
\]
\[
\left| \begin{array}{ccc}
0 & -2 & -4 \\
8 & 4 & 1 \\
2 & -2 & 1
\end{array} \right| = 0\cdot(4\cdot1 - 1\cdot(-2)) - (-2)\cdot(8\cdot1 - 1\cdot2) + (-4)\cdot(8\cdot(-2) - 4\cdot2) = 2\cdot(8-2) -4\cdot(-16-8) = 12 + 96 = 108.
\]  
Модуль векторного произведения:  
\[
|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + (-24)^2} = \sqrt{36+36+576} = \sqrt{648} = 18\sqrt{2}.
\]  
Следовательно,  
\[
d = \frac{108}{18\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}.
\]

**4. Уравнения общего перпендикуляра**  
Общий перпендикуляр задаётся как линия пересечения двух плоскостей:  
Плоскость, проходящая через первую прямую и параллельная \(\vec{n}\):  
Нормаль \(\vec{m_1} = \vec{s_1} \times \vec{n} = (5,-11,4)\), уравнение:  
\(5(x-1) - 11(y-2) + 4(z-3) = 0 \Rightarrow 5x - 11y + 4z + 5 = 0\).  

Плоскость, проходящая через вторую прямую и параллельная \(\vec{n}\):  
Нормаль \(\vec{m_2} = \vec{s_2} \times \vec{n} = (1,1,0)\), уравнение:  
\((x-1) + (y-0) = 0 \Rightarrow x + y - 1 = 0\).  
Таким образом, уравнения общего перпендикуляра:  
\[
\boxed{\begin{cases} 5x - 11y + 4z + 5 = 0, \\ x + y - 1 = 0. \end{cases}}
\]

**5. Точки пересечения общего перпендикуляра с прямыми**  
Параметризуем точки на прямых:  
\[
P_1 = A_1 + t_1 \vec{s_1} = (1+8t_1,\; 2+4t_1,\; 3+t_1),
\]
\[
P_2 = A_2 + t_2 \vec{s_2} = (1+2t_2,\; -2t_2,\; -1+t_2).
\]  
Вектор \(\overrightarrow{P_1P_2}\) должен быть параллелен \(\vec{n}\), что даёт систему:  
\[
\frac{2t_2 - 8t_1}{1} = \frac{-2t_2 - 4t_1 - 2}{-1} = \frac{t_2 - t_1 - 4}{-4} = \lambda.
\]  
Решая, находим \(t_1 = -\frac{1}{6}\), \(t_2 = -\frac{1}{6}\). Тогда:  
\[
P_1 = \left(-\frac{1}{3},\; \frac{4}{3},\; \frac{17}{6}\right), \quad
P_2 = \left(\frac{2}{3},\; \frac{1}{3},\; -\frac{7}{6}\right).
\]

**Ответы:**  
1) Расстояние \(d = 3\sqrt{2}\); уравнения общего перпендикуляра:  
\[
5x - 11y + 4z + 5 = 0,\; x + y - 1 = 0.
\]  
2) Точки пересечения:  
\[
\left( -\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{17}{6} \right),\; \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{7}{6} \right).
\]